Situación de Aprendizaje - Construyendo un cine en el centro comercial de la ciudad

Proporciones y porcentajes en la vida diaria

2. Magnitudes directamente proporcionales

Proporcionalidad directa Magnitudes directamente proporcionales Resolución de problemas: reducción a la unidad Otras relaciones en las tablas de valores de proporcionalidad directa Resolución de problemas: regla de tres Actividades

Proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una de ellas por un número, la otra también queda multiplicada por ese mismo número.

En esa situación, el cociente entre el valor correspondiente de la segunda magnitud y el de la primera permanece constante. Ese valor constante se llama constante de proporcionalidad.

\( \displaystyle \frac{a}{b}=k \qquad \Longleftrightarrow \qquad a=k\,b \)

Ejemplo. Si a \(4\) segundos le corresponden \(6\) metros, entonces: \[ k=\frac{6}{4}=1.5 \] y la relación puede escribirse como: \[ d=1.5\,t \]

Magnitudes directamente proporcionales

Una tabla de valores permite visualizar la relación entre dos magnitudes. Si la relación es directa, el cociente entre valores correspondientes permanece constante.

Esta propiedad permite comprobar si una tabla representa una proporcionalidad directa y también facilita completar nuevos pares de valores.

Tiempo (s)	Distancia (m)
4	6
8	12
12	18
20	30

\( \displaystyle \frac{6}{4}=\frac{12}{8}=\frac{18}{12}=\frac{30}{20}=1.5 \)

Ejemplo. En esta tabla, el cociente \( \dfrac{d}{t} \) siempre vale \(1.5\). Por eso, si el tiempo se duplica, la distancia también se duplica.

La propiedad anterior permite completar cualquier par de valores de la tabla a partir de un par conocido (método de reducción a la unidad).

Reducción a la unidad

Se parte de un par conocido y, a partir de él, se obtiene primero el valor correspondiente a la unidad. Después, ese dato permite calcular cualquier otro valor asociado.

dividir entre \(a\)

multiplicar por \(c\)

\(1\)	\(a\)	\(c\)
\(?\)	\(b\)	\(?\)

Unidad

Par conocido

Nuevo valor

\( \displaystyle \text{Si } a \leftrightarrow b,\qquad 1 \leftrightarrow \frac{b}{a},\qquad c \leftrightarrow c\cdot\frac{b}{a} \)

Ejemplo. Un corredor recorre \(18\) metros en \(6\) segundos. Primero hallamos el valor correspondiente a \(1\) segundo: \[ \frac{18}{6}=3\ \text{m/s} \] Después, para \(20\) segundos: \[ 3\cdot 20=60 \] Así, recorrerá \(60\) metros.

En una tabla de proporcionalidad directa, dos pares de valores correspondientes forman una proporción.

\( \displaystyle \frac{4}{12}=\frac{6}{18} \qquad\text{y también}\qquad \frac{6}{4}=\frac{18}{12} \)

Ejemplo. Tomando los pares \((4,6)\) y \((12,18)\), se obtiene una proporción siempre que se mantenga el mismo orden en las dos magnitudes.

Regla de tres

Se ordenan los datos en dos magnitudes y se construye la proporción manteniendo el mismo orden en ambas columnas.

Primera magnitud

Segunda magnitud

\(a\)

→

\(b\)

\(c\)

→

\(d\)

\( \displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{d} \)

Ejemplo. Si \(12\) cepas producen \(14\) kg de uva, ¿cuántos kilogramos producirán \(30\) cepas? \[ \frac{12}{30}=\frac{14}{x} \Longleftrightarrow 12x=30\cdot 14 \Longleftrightarrow x=\frac{30\cdot 14}{12}=35 \] Por tanto, \(30\) cepas producirán \(35\) kg.

Para hallar el término desconocido, se utiliza la equivalencia entre la proporción y la igualdad de los productos cruzados.

\( \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{x} \Longleftrightarrow a\cdot x=b\cdot c \Longleftrightarrow x=\frac{b\cdot c}{a} \)

Actividades

Intenta resolver estas cuestiones antes de desplegar las soluciones.

Si \(5\) cuadernos cuestan \(15\) euros, ¿cuánto costarán \(8\) cuadernos?
Un grifo arroja \(12\) litros de agua en \(3\) minutos. ¿Cuántos litros arrojará en \(5\) minutos?
Un corredor recorre \(18\) metros en \(6\) segundos. ¿Cuántos metros recorrerá en \(15\) segundos?

Ver soluciones

1) \[ \frac{5}{8}=\frac{15}{x} \Longleftrightarrow 5x=120 \Longleftrightarrow x=24 \] Costarán \(24\) euros.

2) Primero: \[ \frac{12}{3}=4 \] El grifo arroja \(4\) litros por minuto. En \(5\) minutos: \[ 4\cdot 5=20 \] Arrojará \(20\) litros.

3) \[ \frac{18}{6}=3 \] Recorre \(3\) metros por segundo. En \(15\) segundos: \[ 3\cdot 15=45 \] Recorrerá \(45\) metros.

Videotest

Elija la respuesta correcta

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