3. Magnitudes inversamente proporcionales
Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida por ese mismo número.
En este caso, lo que permanece constante no es el cociente, sino el producto de los valores correspondientes.
\( \displaystyle a\cdot b = k \)
Ejemplo. Un embalse tiene agua suficiente para abastecer a \(2000\) habitantes durante \(6\) meses. Si el número de habitantes cambia, el tiempo de abastecimiento varía de forma inversa.
| N.º de habitantes | 1000 | 2000 | 3000 | 4000 | 6000 | 12000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tiempo (meses) | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
\( \displaystyle 1000\cdot 12 = 2000\cdot 6 = 3000\cdot 4 = 4000\cdot 3 = 6000\cdot 2 = 12000\cdot 1 \)
Resolución de problemas: reducción a la unidad
En proporcionalidad inversa, también puede utilizarse la reducción a la unidad. Primero se calcula el valor correspondiente a \(1\) unidad de una magnitud y, a partir de ahí, se obtiene cualquier otro valor teniendo en cuenta que las operaciones en la otra magnitud son contrarias.
| Unidad | Par conocido | Nuevo valor |
|---|---|---|
| \(1\) | \(3\) | \(5\) |
| \(?\) | \(10\) | \(?\) |
\( \displaystyle 3 \text{ vacas} \leftrightarrow 10 \text{ días},\qquad 1 \text{ vaca} \leftrightarrow 10\cdot 3 = 30 \text{ días},\qquad 5 \text{ vacas} \leftrightarrow 30 : 5 = 6 \text{ días} \)
Ejemplo. Un granjero tiene forraje para alimentar a \(3\) vacas durante \(10\) días. ¿Cuánto durará si tuviera \(5\) vacas?
Primero se calcula el valor correspondiente a \(1\) vaca: \[ 10\cdot 3 = 30 \] Después, se reparte ese total entre \(5\) vacas: \[ 30 : 5 = 6 \] Por tanto, el forraje durará \(6\) días.
Primero se calcula el valor correspondiente a \(1\) vaca: \[ 10\cdot 3 = 30 \] Después, se reparte ese total entre \(5\) vacas: \[ 30 : 5 = 6 \] Por tanto, el forraje durará \(6\) días.
Proporciones en las tablas de proporcionalidad inversa
En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de dos valores correspondientes es siempre constante.
| N.º de vacas | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tiempo (días) | 30 | 15 | 10 | 6 | 3 | 1 |
\( \displaystyle 1\cdot 30 = 2\cdot 15 = 3\cdot 10 = 5\cdot 6 = 10\cdot 3 = 30\cdot 1 \)
Con dos pares de valores también pueden construirse proporciones, siempre que el orden se adapte al carácter inverso de la relación.
- \( \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{6}{15} \)
- \( \displaystyle \frac{2}{6} = \frac{5}{15} \)
Ejemplo. A medida que aumenta el número de vacas, disminuye el tiempo que dura el forraje. Por eso, una duplicación en la primera magnitud provoca una reducción a la mitad en la segunda.
Resolución de problemas: regla de tres inversa
Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, la regla de tres se plantea igualando productos o construyendo una proporción inversa.
Velocidad (km/h)
Tiempo (min)
\(20\)
→
\(30\)
\(50\)
→
\(x\)
Ejemplo. Un ciclista, a \(20\) km/h, tarda \(30\) minutos en ir de un punto a otro. ¿Cuánto tardará si mantiene \(50\) km/h?
\( \displaystyle 20\cdot 30 = 50\cdot x \Longleftrightarrow x = \frac{20\cdot 30}{50} \Longleftrightarrow x = 12 \)
A mayor velocidad, menor tiempo. Por eso se trata de una relación de proporcionalidad inversa.
Actividades
Resuelve estas cuestiones aplicando proporcionalidad inversa.
- Si \(4\) trabajadores descargan un camión en \(6\) horas, ¿cuánto tardarán \(2\) trabajadores?
- Un coche tarda \(2\) horas en recorrer un trayecto a \(80\) km/h. ¿Cuánto tardará si mantiene \(100\) km/h?
- Un tractor ara un campo en \(15\) horas. ¿Cuánto tardarán \(3\) tractores iguales trabajando al mismo ritmo?
Ver soluciones
1) \[ 4\cdot 6 = 2\cdot x \Longleftrightarrow x=\frac{4\cdot 6}{2}=12 \] Tardarán \(12\) horas.
2) \[ 80\cdot 2 = 100\cdot x \Longleftrightarrow x=\frac{80\cdot 2}{100}=1.6 \] \(1.6\) horas equivalen a \(1\) hora y \(36\) minutos.
3) \[ 1\cdot 15 = 3\cdot x \Longleftrightarrow x=\frac{15}{3}=5 \] Tardarán \(5\) horas.
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