2. Problemas con porcentajes

Problemas con porcentajes Cálculo del total Cálculo del tanto por ciento Disminuciones porcentuales Aumentos porcentuales Actividades

Problemas con porcentajes

En los problemas con porcentajes suelen intervenir tres elementos: el total, el tanto por ciento y la parte.

\( \displaystyle \text{parte}=\frac{p}{100}\cdot \text{total} \)

Ejemplo. Una empresa tiene \(180\) empleados y el \(35\%\) trabaja en el turno de noche. ¿Cuántos empleados hay en ese turno?

\( \displaystyle 35\% \text{ de } 180 = \frac{35}{100}\cdot 180 = 180\cdot 0.35 = 63 \)

En el turno de noche hay \(63\) empleados.

Si se conocen el total y el porcentaje, la parte se obtiene multiplicando el total por el tanto expresado como fracción o como número decimal.

Cálculo del total, conocidos el tanto por ciento y la parte

Cuando se conoce la parte y el porcentaje, el dato desconocido es el total.

\( \displaystyle \text{Si } \frac{p}{100}\cdot x = \text{parte}, \qquad x=\frac{\text{parte}\cdot 100}{p} \)

Ejemplo. Si \(63\) empleados representan el \(35\%\) de una plantilla, ¿cuántos empleados forman la plantilla completa?

\( \displaystyle x=\frac{63\cdot 100}{35}=180 \)

La plantilla está formada por \(180\) empleados.

También puede resolverse usando el decimal asociado al porcentaje: \[ 0.35\cdot x = 63 \qquad \Longrightarrow \qquad x=\frac{63}{0.35}=180 \]

Cálculo del tanto por ciento, conocidos el total y la parte

Si se conoce el total y una parte, el porcentaje se obtiene comparando ambas cantidades.

\( \displaystyle p=\frac{\text{parte}}{\text{total}}\cdot 100 \)

Ejemplo. De \(180\) empleados, \(63\) trabajan en el turno de noche. ¿Qué porcentaje representa ese grupo?

\( \displaystyle p=\frac{63}{180}\cdot 100 = 35 \)

El turno de noche representa el \(35\%\) del total.

El cociente entre la parte y el total indica la fracción ocupada, y al multiplicarlo por \(100\) se obtiene el porcentaje.

Disminuciones porcentuales

Disminuir una cantidad en un \(p\%\) equivale a restarle ese porcentaje o, de forma equivalente, a calcular el \((100-p)\%\) de la cantidad inicial.

\( \displaystyle \text{valor final} = \text{valor inicial} - p\%\text{ del valor inicial} \)

\( \displaystyle \text{valor final} = \left(1-\frac{p}{100}\right)\cdot \text{valor inicial} = \frac{100-p}{100}\cdot \text{valor inicial} \)

Ejemplo. Si \(620\) accidentes disminuyen un \(15\%\), la previsión final es:

\( \displaystyle 15\% \text{ de } 620 = \frac{15}{100}\cdot 620 = 93 \)

\( \displaystyle 620-93=527 \)

Otra forma de hacerlo es calcular directamente el \(85\%\) de \(620\): \[ 85\% \text{ de } 620 = 0.85\cdot 620 = 527 \]

Aumentos porcentuales

Aumentar una cantidad en un \(p\%\) equivale a sumarle ese porcentaje o, de forma equivalente, a calcular el \((100+p)\%\) de la cantidad inicial.

\( \displaystyle \text{valor final} = \text{valor inicial} + p\%\text{ del valor inicial} \)

\( \displaystyle \text{valor final} = \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \text{valor inicial} = \frac{100+p}{100}\cdot \text{valor inicial} \)

Ejemplo. Un aparcamiento tiene \(180\) plazas y amplía su capacidad un \(20\%\). ¿Cuántas plazas tendrá después de la ampliación?

\( \displaystyle 20\% \text{ de } 180 = \frac{20}{100}\cdot 180 = 36 \)

\( \displaystyle 180+36=216 \)

También puede calcularse directamente el \(120\%\) de \(180\): \[ 120\% \text{ de } 180 = 1.20\cdot 180 = 216 \]

Actividades

Resuelve estas actividades aplicando los procedimientos trabajados.

El \(45\%\) de las butacas de una sala son \(81\). ¿Cuál es el número total de butacas?
En una sala con \(180\) butacas se han ocupado \(81\). ¿Qué porcentaje de ocupación hay?
Un artículo cuesta \(620\) € y se rebaja un \(15\%\). ¿Cuál es el precio final?
Un aparcamiento tiene \(180\) plazas y aumenta su capacidad un \(20\%\). ¿Cuántas plazas tendrá?
Si el \(10\%\) de un número es \(28\), ¿cuál es ese número?

Ver soluciones

1) \[ x=\frac{81\cdot 100}{45}=180 \]

2) \[ p=\frac{81}{180}\cdot 100=45 \] La ocupación es del \(45\%\).

3) \[ 15\% \text{ de } 620 = 93 \qquad\Longrightarrow\qquad 620-93=527 \]

4) \[ 20\% \text{ de } 180 = 36 \qquad\Longrightarrow\qquad 180+36=216 \]

5) \[ x=\frac{28\cdot 100}{10}=280 \]